Frequency Domain Normal Map Filtering続き^4
※式が違ったので修正(12/24)
セクション4.3の次の式
について、次のようにそれぞれ球面調和関数展開できるとき、
その係数が次のようになる、
というこの部分について流し読みしていたのですが、よくよく考えてみると、よくある球面調和関数の内積と違ってを含んでいるため、全然分からないことに気づいてしまいました。
というわけで何故これが成り立つのか調べていたのですが、これはLambertian Reflectance and Linear Subspaces (Basri and Jacob, IEEE TRANSACTIONS ON PATTERN ANALYSIS AND MACHINE INTELLIGENCE, VOL. 25, NO. 2, FEBRUARY 2003)に背景が説明されていました。この論文によれば、kが放射的に対称でzonal harmonicsで展開できるとき、次が成り立つそうです(Funk-Hecke Theorem)。
つまり、言い換えると「何も解決してねえ!」という感じなのですが、法線分布関数だけ先に展開してFunk-Hecke Theoremを適用すれば上記式が求まることは分かります。なので次はこの定理を掘り下げれば良さそうなのですが、どうもこの定理を深追いするのはかなり大変であるようです。しがないプログラマとしてはツールとして使うのが良さそうですね…。